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Desafios
1) Milagres (Ensino Médio)
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior “Naquele domingo, o Evangelho tinha sido sobre o milagre da multiplicação dos pães. A seguir à missa, o padre João e o sacristão Pedro decidem fazer a sua caminhada diária. Durante o percurso eles cruzam-se com três pessoas. Para testar o conhecimento do padre sobre os seus paroquianos, o sacristão pergunta-lhe quais as suas idades, e o padre responde: - A multiplicação das três idades dá 2450, e a soma dá precisamente o dobro da sua idade, Pedro. Na caminhada do dia seguinte, o sacristão confessa ao padre que não tinha conseguido descobrir as idades, e pede-lhe mais alguma informação. O padre anui: - Bem, posso dizer-lhe que sou mais velho do que qualquer um daqueles três fregueses. O sacristão responde: - Ah, agora sim, já sei as idades deles!” Consegues descobrir quais são as idades dos três paroquianos, a idade do sacristão e a idade do padre? Como as idades procuradas são números inteiros, começamos por fazer uma lista dos divisores de 2450: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 49, 50, 70, 98, 175, 245, 350, 490, 1225 e 2450. Podemos restringir a lista aos doze primeiros números (até ao número 98), pois os outros não correspondem a idades possíveis. A seguir, com estes números, fazemos uma lista de tríades de números cuja multiplicação seja 2450. Obtemos doze tríades. Para cada tríade, somamos os números e dividimos por dois, para obter o número S que seria a idade do sacristão Pedro. (1,25,98); soma 1+25+98=124; S=124/2=62 (1,35,70); soma 1+35+70=106; S=106/2=53 (1,49,50); soma 1+49+50=100; S=100/2=50 (2,25,49); soma 2+25+49=76; S=76/2=38 (2,35,35); soma 2+35+35=72; S=72/2=36 (5,5,98); soma 5+5+98=108; S=108/2=54 (5,7,70); soma 5+7+70=82; S=82/2=41 (5,10,49); soma 5+10+49=64; S=64/2=32 (5,14,35); soma 5+14+35=54; S=54/2=27 (7,7,50); soma 7+7+50=64; S=64/2=32 (7,10,35); soma 7+10+35=52; S=52/2=26 (7,14,25); soma 7+14+25=46; S=46/2=23 Observamos que todos os números S são diferentes, havendo apenas um que aparece duas vezes (32). Naturalmente, o sacristão sabe a sua própria idade. Uma vez que inicialmente ele ficou com dúvidas, a sua idade deve ser precisamente 32, e a sua dúvida era entre as tríades (5,10,49) e (7,7,50). Mas essa dúvida dissipou-se quando o padre lhe disse que tinha uma idade maior do que qualquer dos três números. A única maneira de isso ocorrer é que a idade do padre seja 50. Assim, as idades dos três paroquianos são 5, 10 e 49 anos, o sacristão Pedro tem 32 anos e o padre João tem 50 anos.
2) Medindo distâncias sem régua (Ensino Superior)
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior (a) Uma parábola tem a equação
Use a seguinte primitiva:
(b) Aproveite o resultado da alínea anterior para resolver esta questão: Francisco, Carlos e Pedro decidiram fazer o percurso entre o ginásio G e o estádio E da sua cidade seguindo as três trajetórias representadas na figura. 
Francisco, que é o mais lento dos três, seguiu a trajetória F (linha reta entre os dois locais); Carlos seguiu a trajetória C (linha curva com a forma de parábola); Pedro, que é o mais rápido, seguiu a trajetória P (constituída por dois segmentos de reta perpendiculares). Da figura, é claro que a distância percorrida por Francisco foi de (A) E ntre 1414 m e 1500 m; (B) E ntre 1500 m e 1600 m; (C) E ntre 1600 m e 1700 m; (D) E ntre 1700 m e 1800 m; (E) E ntre 1800 m e 1900 m; (F) E ntre 1900 m e 2000 m. (a) O elemento de comprimento de arco é dado por
Neste caso,
Fazendo a mudança de variável
chegamos a
onde definimos
Usando a primitiva fornecida no enunciado, temos
Da figura anterior, baseada na definição de
de modo que
expressão que pode ser escrita como
se definirmos
(b) O percurso seguido por Carlos é descrito pela equação
Assim, a distância percorrida por Carlos é
A resposta correta é, portanto, a da opção (A).
3) Um hexágono irregular (Ensino Médio)
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior Um hexágono está inscrito num círculo. Os lados do hexágono têm comprimentos a e b, alternadamente. Determine o raio r do círculo, em função de a e b. Na figura está representada em detalhe uma terça parte do hexágono descrito. 
Como o triângulo [ AOB] é isósceles e 
temos que 
e então 
O triângulo [ AOC] também é isósceles; logo 
O mesmo raciocínio aplica-se ao triângulo [ BOC]: 
Finalmente, a soma dos ângulos internos do triângulo [ ABC] deve ser 180º: 
Notando que 
resulta 
Aplicamos agora a lei dos co-senos ao triângulo [ ABC]: 
Assim, 
e o raio do círculo é 
|
, sendo 
. Mostre que o comprimento L da parábola entre os pontos (0,0) e (x o,y o) é dado por 
onde 
e
.
.
km 
m, e que a distância percorrida por Pedro foi de 2 km = 2000 m . Em que intervalo de valores está a distância percorrida por Carlos?
.
.
,
, com
.
, vemos que
e 
,
, logo 
.
m.