A bóia encontra-se em equilíbrio estático sob a ação de três forças:

1. o seu peso P (vertical, para baixo), que atua no centro da bóia;

2. o empuxo E produzido pela água (vertical, para cima), que atua no centro da parte da bóia que está submersa (princípio de Arquimedes);

3. a tensão T do cabo (vertical, para baixo).

Essas três forças foram representadas na figura, onde também foi designado por L o comprimento da bóia, e por x o comprimento da parte da bóia que está submersa.

O equilíbrio de translação do centro de massa da bóia traduz-se no fato de a força resultante que atua sobre ela ser nula:

(1)

O equilíbrio de rotação da bóia traduz-se no fato de o momento resultante das forças que atuam sobre ela, em relação a qualquer ponto, ser nulo; calculando esse momento em relação ao extremo inferior da bóia, obtém-se

(2)

Mas

(3)

sendo m a massa da bóia e g a aceleração da gravidade; e a magnitude do empuxo é igual ao peso P' da água deslocada pela bóia (princípio de Arquimedes, novamente), isto é,

(4)

sendo a densidade da água, m' a massa da água deslocada pela bóia, e V' o volume deslocado pela bóia. Este último pode ser escrito como

(5)

onde R é o raio da base da bóia e D o seu diâmetro. Combinando as relações (2)-(5),

(6)

Introduzindo os valores numéricos no SI (note que = 1,00 g/cm ³ = 1000 kg/m ³ e que D = 15,0 cm = 0,150 m), obtém-se

(7)

A tensão do cabo pode ser agora calculada usando (1):

(8)

_________________________________________________________________________________

O ângulo pode ser determinado a partir do triângulo representado na figura acima, em que l representa o comprimento do cabo e H a profundidade do lago:

(9)

O cabo suporta uma tensão de 174 N e a bóia faz um ângulo de 35,0º com a horizontal.

(a) A situação está representada na figura. Seja H a altura da pipa, seja A a área de uma das suas partes planas, e seja a a área do orifício aberto no fundo. À medida que as bilhas vão sendo cheias, o nível do vinho na pipa vai descendo. Seja h(t) a altura desse nível, medida em relação ao fundo da pipa, num instante t arbitrário. Escolhemos o instante t = 0 no início do processo de enchimento (às 16h00), pelo que h(0) = H.

Consideremos um ponto 1 situado na superfície livre do vinho (à altura h) e um ponto 2 situado à saída do orifício; liguemos esses dois pontos por uma linha de corrente imaginária e apliquemos a lei de Bernoulli. Temos

sendo p ₁ e p ₂ as pressões nesses dois pontos (as duas iguais à pressão atmosférica, já que ambos os pontos estão em contato com o ar exterior), h ₁ e h ₂ as alturas desses dois pontos [ h ₁ = h(t) e h ₂ = 0], e v ₁ e v ₂ as magnitudes da velocidade do vinho nesses dois pontos [ v ₁ = dh/dt e v ₂ = v ₂(t) a rapidez com que o vinho sai da pipa]; é a densidade do vinho e g o valor da aceleração da gravidade. Simplificando, obtemos

. [1]

O volume ocupado pelo vinho que está dentro da pipa num instante qualquer é dado por V = Ah , de modo que o fluxo é

e como Q = -av ₂, resulta

. [2]

Inserindo-se a expressão [2] no membro esquerdo de [1], chega-se a

de modo que, se definirmos

[3], obtemos a equação diferencial de primeira ordem com variáveis separadas

[a escolha do sinal negativo justifica-se pelo fato de a função h(t) ser decrescente, já que o nível do vinho desce]; integrando-se ambos os membros dessa equação, chega-se a

,

ou seja,

. [4]

Seja N o número de bilhas que é possível encher com o vinho da pipa. No instante

sabemos que a primeira bilha fica cheia; nesse instante, a altura do vinho na pipa deve ser

.

Portanto

. [5]

Sabemos também que no instante

a segunda bilha fica cheia; nesse instante, a altura do vinho na pipa deve ser

.

Portanto

. [6]

Igualando as expressões [5] e [6] chegamos a

Essa igualdade permite determinar N em função de t ₁ e t ₂. Efetivamente, separando, elevando ao quadrado e simplificando, temos

.

Voltando a elevar ao quadrado, fazendo algumas manipulações simples e substituindo valores numéricos obtém-se, finalmente,

Assim, o Sr. Chico poderá encher 20 bilhas com o vinho existente na sua pipa.

(b) Substituindo o valor de N , por exemplo, na expressão [5], chegamos a

[7]

e inserindo este resultado em [4] obtemos

.

Esta fórmula permite-nos calcular o instante preciso em que uma qualquer das 20 bilhas ficará cheia. Assim, por exemplo, pondo h(t ₂₀ ) = h ₂₀ = 0, podemos determinar o instante t ₂₀ em que a vigésima (e última) bilha ficará cheia, ou seja, o instante em que a pipa ficará vazia:

Como o processo de enchimento começou às 16h00min00s, a pipa ficará vazia às 16h49min22s.

(c) O instante t ₁₉ em que a bilha 19 ficará cheia pode ser determinado impondo-se a condição h(t ₁₉ ) = h ₁₉ = H/20:

de modo que o tempo necessário para que o Sr. Chico encha a última bilha será

Assim, a última bilha demorará a encher quase 9 vezes mais do que a primeira.

A tabela seguinte mostra os tempos para cada uma das 20 bilhas, com precisão de décimos de segundo.

Bilha	Tempo (t)	Intervalo ()	Bilha	Tempo (t)	Intervalo ()
1	01 min 15.0 s	01 min 15.0 s	11	16 min 15.0 s	01 min 47.4 s
2	02 min 32.0 s	01 min 17.0 s	12	18 min 08.7 s	01 min 53.7 s
3	03 min 51.2 s	01 min 19.2 s	13	20 min 09.7 s	02 min 01.0 s
4	05 min 12.7 s	01 min 21.5 s	14	22 min 19.7 s	02 min 10.0 s
5	06 min 36.8 s	01 min 24.1 s	15	24 min 41.0 s	02 min 21.3 s
6	08 min 03.8 s	01 min 27.0 s	16	27 min 17.4 s	02 min 36.4 s
7	09 min 34.0 s	01 min 30.2 s	17	30 min 14.8 s	02 min 57.4 s
8	11 min 07.6 s	01 min 33.6 s	18	33 min 45.3 s	03 min 30.5 s
9	12 min 45.3 s	01 min 37.7 s	19	38 min 19.7 s	04 min 34.4 s
10	14 min 27.6 s	01 min 42.3 s	20	49 min 22.0 s	11 min 02.3 s

Note que o tempo necessário para encher a última bilha é igual à soma dos tempos necessários para encher as três bilhas anteriores a essa:

.

Essa é uma propriedade geral, pois não depende do número N de bilhas (basta que ) . Tente demonstrá-la e, no processo, encontrará outras propriedades similares!

(d) Como a altura da pipa é H = 1,3 m, a expressão [7] permite-nos calcular o valor de :

.

Substituindo este resultado na expressão [3], podemos determinar a relação A/a:

onde usamos o valor g = 9,8 m/s ² para a aceleração da gravidade. Como o diâmetro da parte plana da pipa é D = 70 cm , a sua área A é

pelo que a área a do orifício aberto pelo Sr. Chico na pipa é

correspondente a um raio aproximado de 4,6 mm.

Finalmente, para obter a capacidade de uma bilha basta calcular o volume da pipa

e dividir pelo número de bilhas. A capacidade de uma bilha é, portanto,