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Desafios
1) Corte intencional (Ensino Médio)
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior Uma bola é mantida em repouso na posição A da figura mediante dois fios tensos. O fio horizontal é cortado, e a bola começa a oscilar como um pêndulo. O ponto B é o ponto mais afastado à direita que a bola consegue atingir, e onde recua. Verifica-se que a tensão do fio que suporta a bola na posição B é 75% da tensão que o mesmo fio tinha na posição A antes de ser cortado o fio horizontal. Qual o valor do ângulo 
Seja m a massa da bola. Na situação inicial, a bola encontra-se em equilíbrio sob a ação do seu peso mg e das tensões T 1 e T 2 nos fios horizontal e oblíquo, respectivamente. As equações que refletem esse equilíbrio são 
Na situação final, a análise das forças que atuam sobre a bola na posição B (peso mg e tensão T B do fio) proporciona as seguintes equações: 
onde (a t ) B e (a c ) B são, respectivamente, as acelerações tangencial e centrípeta da bola no ponto B. Como em B a bola atinge o repouso, 
onde L representa o comprimento do fio. Combinando agora as expressões de T 2 e T B com a informação fornecida, obtém-se 
O valor do ângulo representado é 30º.
2) Que bela peça! (Ensino Superior)
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior Na figura, mostra-se uma peça cilíndrica e homogênea de massa M e raio R. O raio de cada um dos quatro orifícios cilíndricos é R/3 e o eixo de cada orifício está a uma distância R/2 do eixo central. Mostre que o momento de inércia desta peça, relativamente ao eixo central, é 
A peça é um cilindro de raio R no qual foram feitos quatro orifícios cilíndricos de raio R/3; o eixo de cada orifício está a uma distância R/2 do eixo central. Pela propriedade aditiva do momento de inércia, o momento de inércia desta peça pode ser obtido fazendo-se a diferença entre o momento de inércia do cilindro original (sem orifícios) e os momentos de inércia dos quatro orifícios, que são iguais por simetria: 
A massa da peça é M. Comecemos por calcular a massa do cilindro original (que designamos M') e a massa associada a cada um dos orifícios. Tratando-se de cilindros, a massa é directamente proporcional ao quadrado do raio; como o raio dos orifícios é 1/3 do raio do cilindro original, 
Então 
de modo que 
e 
Lembremos agora que o momento de inércia de um cilindro de massa m e raio r em relação ao seu eixo é mr 2 /2. Usando esta fórmula, podemos calcular o momento de inércia do cilindro original em relação ao seu eixo (eixo central) 
Consideremos agora um dos orifícios. Usando a fórmula antes referida, podemos calcular o seu momento de inércia em relação ao próprio eixo do orifício: 
Aplicando a seguir o teorema de Steiner (teorema dos eixos paralelos), obtemos o seu momento de inércia em relação ao eixo central: 
Finalmente, calculamos o momento de inércia da peça em relação ao eixo central: 
3) Este projétil é o máximo! (Ensino Superior)
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior Um projétil é lançado a partir do solo, com velocidade escalar inicial
Ignore o efeito da resistência do ar e use a seguinte primitiva:
O vetor aceleração do projétil é constante e igual à aceleração da gravidade: magnitude g, direção vertical e sentido para baixo. O seu vetor velocidade inicial ( t = 0) terá uma componente horizontal de magnitude
onde o eixo x aponta horizontalmente para a direita e o eixo y aponta verticalmente para cima. No instante posterior t, o vetor velocidade do projétil será 
pelo que a sua velocidade escalar será 
No instante em que o projétil atinge a sua altura máxima, a componente vertical da sua velocidade é nula, o que permite calcular o tempo que o projétil demora para atingir esse ponto: 
Por simetria, o tempo de descida será o mesmo, pelo que o tempo total de voo é 
Como
Calculemos a integral anterior. Começamos por fazer a mudança de variável 
como dt' = dt,
. Após desenvolver e simplificar, usando o fato do integrando ser par, obtém-se
Introduzimos agora a mudança de variável como
Inserindo a primitiva dada no enunciado da questão (e levando em conta que 
onde definimos a função
Note-se que, para Se quisermos determinar o ângulo
resulta, para o ângulo correspondente ao máximo,
Esta é uma equação transcendente que deve ser resolvida numericamente. A sua solução é
O valor da distância máxima percorrida é
. (2) Esta distância é cerca de 20 % superior à distância correspondente ao lançamento vertical. Podemos também comparar esta distância com o valor correspondente a
que é apenas cerca de 15 % maior do que a distância associada ao lançamento vertical e, portanto, inferior a L m. O gráfico seguinte mostra a dependência da função f com o ângulo 
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representado?
para cima e para a direita, no campo gravitacional da Terra (cuja aceleração gravitacional é g). Deseja-se que a distância percorrida pelo projétil (medida ao longo da sua trajetória até chegar novamente ao solo) tenha o máximo valor possível. 
de lançamento (medido com a horizontal)?
.
apontando para a direita e uma componente vertical de magnitude 
apontando para cima. Assim,
e 
,
, sendo s a distância medida ao longo da trajetória (que, como se sabe, é uma parábola), a distância total L percorrida pelo projétil é dada por
.
;
,
.
rad ), temos
.
(lançamento horizontal), obtém-se L = 0, como era de se esperar, enquanto que, para 
rad (lançamento vertical), resulta 
, um resultado bem conhecido (a altura máxima atingida pelo projétil num lançamento vertical é 
, como se mostra facilmente através da conservação da energia mecânica). 
para o qual a distância percorrida é máxima devemos impor a condição de derivada nula. Como 
,
.
. (1) 
, ângulo para o qual, como é bem conhecido, o projéctil atinge o seu máximo alcance horizontal. Assim,
,