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Desafios
1) De Profundis (Ensino Superior)
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior Um mergulhador está suspenso, a 100 m de profundidade, no célebre Loch Ness, mediante uma corda fixa a um barco que se encontra à superfície. O mergulhador e o seu equipamento têm uma massa total de 120 kg, e ocupam um volume de 81,5 L. A corda tem um diâmetro de 2,20 cm e uma massa por unidade de comprimento de 10,0 g/cm. O mergulhador, acreditando ter visto qualquer coisa nas obscuras profundezas (e temendo que se trate do famoso monstro) começa a mexer a corda para trás e para a frente, enviando assim ondas transversais ao longo da corda como sinal para os seus amigos no barco (ver figura). 
(a) Determine a tensão da corda no seu extremo inferior, onde está amarrada ao mergulhador. Não se esqueça de incluir no seu cálculo o empuxo que a água do lago (de densidade 1,02 g/cm 3) exerce sobre o mergulhador. Use o valor g = 9,80 m/s 2 para a aceleração da gravidade. (b) Calcule a tensão da corda a uma distância x acima do mergulhador, F(x). Leve em conta o empuxo sobre a corda. (c) Nesta situação, a velocidade da onda transversal que se propaga pela corda é variável, já que a tensão não é constante. Integre a equação para a velocidade v das ondas transversais e obtenha o tempo que o sinal enviado pelo mergulhador demora a chegar à superfície. Ajuda: uma primitiva da função
é
(a) Sobre o mergulhador atuam três forças: o seu peso P, o empuxo E provocado pela água e a tensão F no extremo inferior da corda. A primeira aponta para baixo, as outras duas para cima. Do equilíbrio destas forças resulta P = E + F, de modo que F = P - E = (120)(9,80) - (1,02 x 103)(81,5 x 10-3)(9,80) Já que P = Mg (onde M = 120 kg é a massa do mergulhador e o seu equipamento) e, de acordo com o princípio de Arquimedes, E = (b) Consideremos a porção da corda, de comprimento x, que está imediatamente acima do mergulhador. Sobre esta porção de corda atuam quatro forças: o seu peso P', a tensão F no extremo inferior, a tensão F(x) no extremo superior, e o empuxo E' provocado pela água. As duas primeiras apontam para baixo, as duas últimas para cima. Do equilíbrio destas forças resulta P' + F = F(x) + E', de modo que F(x) = P' + F - E' = (1,00)(9,80)x + 361 - (1,02 x 103) já que P' = M'g = (c) A velocidade das ondas transversais numa corda é dada por 
Neste caso, como a tensão F varia ao longo da corda, o mesmo vai acontecer com a velocidade das ondas. Assim, podemos escrever 
Como v = dx / dt, temos 
Se integrarmos ambos os membros desta equação (usando a primitiva fornecida), resulta 
onde T é o tempo necessário para a onda viajar até à superfície e L = 100 m é o comprimento da corda. Assim, 
ou seja,T = 4,00 s. O sinal enviado pelo mergulhador demora 4,00 s para chegar à superfície.
2) Apita o trem, lá vai a apitar… (Ensino médio)
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior Quando um trem passa por uma estação, apitando, um fio de nylon colocado na estação e mantido tenso, fixo nos seus dois extremos, começa a vibrar da seguinte maneira:
São conhecidos os seguintes dados sobre o fio representado: comprimento: 30.0 cm; massa: 1.50 g; tensão: 1.62 N. Calcule a velocidade escalar com que o trem passa pela estação (em km/h), e a frequência do apito do trem. O som propaga-se no ar com uma velocidade de módulo 340 m/s. O apito do trem provoca, por meio de um efeito de ressonância, ondas estacionárias transversais no fio; são essas ondas estacionárias as que se podem observar na figura. Comecemos então por investigar as propriedades fundamentais dessas ondas. Conhecendo a massa M e o comprimento L do fio, podemos obter a sua densidade linear de massa
e, combinando esta informação com a tensão T a que o fio está submetido, calculamos a velocidade v com que se propaga através dele uma onda transversal:
Como o fio está fixo nos seus dois extremos, a sua frequência fundamental de vibração (frequência do modo fundamental das ondas estacionárias) é
e a frequência de qualquer onda estacionária será um múltiplo inteiro da fundamental: fn = nf1, (n = 1, 2, 3...). Na expressão anterior, o índice n pode ser identificado com o número de ventres que a onda estacionária apresenta. Assim, quando o trem está se aproximando, e dado que a onda apresenta treze ventres, a sua frequência é f13 = 13f1 = 13 (30 Hz) = 390 Hz e quando o trem se está se afastando, como a onda tem onze ventres, a sua frequência é f11 = 11f1 = 11 (30 Hz) = 330 Hz Essas duas frequências são as frequências “percebidas” pelo fio, que está em repouso na estação. Elas não coincidem com a frequência do apito do trem devido ao fato de este se encontrar em movimento em relação ao fio (efeito Doppler). Assim, designando por f a frequência do apito do trem, sabemos que a frequência percebida pelo fio durante a fase de aproximação é
e a frequência percebida pelo fio durante a fase de afastamento é
onde usamos o valor da velocidade do som no ar. Essas duas expressões constituem um sistema de duas equações com duas incógnitas: a velocidade com que o trem passa pela estação e a frequência do apito do trem. Este sistema é fácil de resolver: dividindo a primeira equação pela segunda, obtém-se
de modo que
e substituindo este resultado numa das equações do sistema (na primeira, por exemplo) resulta
O trem passa pela estação com uma velocidade de 102 km/h e a frequência do seu apito é 357.5 Hz. |
361 N
Vg (onde 
(1,10 x 10-2) 2(9,80)x 
gx (onde M' é a massa da porção de corda e 
:
