(a) Num ciclo de 400 anos haverá 100 anos múltiplos de 4, que seriam todos bissextos se não existisse a regra dos centenários. Como há 4 anos centenários, e só um deles será múltiplo de 400, temos de descontar três. Logo, em 400 anos haverá 97 anos bissextos e 303 (400 - 97) anos comuns.
Agora temos de calcular o número médio n de dias por ano num ciclo de 400 anos. Cada um dos 303 anos comuns tem 365 dias, e cada um dos 97 anos bissextos tem 366 dias. Logo

(b) Na figura, mostra-se a situação descrita. S representa o Sol, T o centro da Terra, e P o ponto da superfície da Terra em cujo zênite o Sol se encontra (posição 1).

Ao fim de um dia solar, a Terra e o ponto P encontrar-se-ão na posição 2, com o Sol novamente no zénite de P . Como uma volta completa da Terra em torno do Sol (360º) demora 365,2425 dias solares para ser efetuada (ver alínea anterior), uma simples proporção (regra de três simples) permite-nos obter o ângulo :

Neste intervalo de tempo (24 horas) o ponto P já descreveu, relativamente a T, um ângulo de 360º + . Por definição, o dia sideral corresponde a uma rotação de P em torno de T de exatamente 360º. Logo, o dia sideral não é igual ao dia solar. (Convém notar que na figura foram escolhidos os mesmos sentidos de rotação de T em relação a S e de P em relação a T; desta forma, o dia solar é maior do que o dia sideral, de acordo com a realidade e com o enunciado da questão; se tivéssemos escolhido sentidos opostos para as duas rotações, o dia solar resultaria menor do que o dia sideral.)

Para determinar a diferença entre os dois dias (solar e sideral), basta aplicar novamente uma proporção (regra de três simples):

Introduzindo nesta expressão o valor de já determinado, resulta:

que pode escrever-se como 23 h 56 min 4 s. Assim, a diferença entre o dia solar e o dia sideral é de 3 min 56 s, ou seja, 236 s.

(a) Na figura, representamos o diâmetro angular aparente do Sol S, visto da Terra T, por . Observa-se que

onde s é o comprimento do arco descrito pelo Sol com centro na Terra, d _TS é a distância entre a Terra e o Sol, e R é o raio do Sol.

Substituindo valores numéricos,

Assim, o diâmetro angular aparente do Sol, visto da Terra, é de 32 minutos de arco, aproximadamente.

O movimento aparente do Sol é provocado pelo movimento de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo. Como o tempo correspondente a uma volta completa (360°) é de um dia solar (24 h), uma simples proporção (regra de três simples) permite obter o tempo pedido:

de modo que, inserindo o valor obtido antes para , resulta

(b) A paralaxe anual p de um sistema estelar E está relacionada com a sua distância D _ET à Terra através de

e como o valor do ângulo p é muitíssimo pequeno, a aproximação (com p em radianos) é excelente; podemos então escrever

Note-se que, quanto menor for a paralaxe, maior é a distância. No caso do sistema Alfa de Centauro ( ),

Portanto a distância da Terra a esse sistema é

ou

Fica assim calculada em UA e em m. Escrevamos agora essa distância em anos-luz. Como (ver questão “Há anos e anos… há dias e dias” neste tema).

1 ano gregoriano = 365,2425 d = (365,2425) (24) (3600) s = 31556952 s, temos

de modo que

Resta escrever a distância em parsec. Quando p = 1", temos D _ET = 1 pc, por definição. Como

conclui-se que

Logo,

Reescrevendo todos estes resultados com dois algarismos significativos, temos

Deslocando-se com uma velocidade v = 17 km/s = 1,7 x 10 ⁴ m/s, o tempo que uma nave espacial demoraria a percorrer a distância entre a Terra e o sistema Alfa de Centauro seria

ou seja, cerca de 76 mil anos (gregorianos).