(a) E scolhamos como origem de coordenadas a posição do cabo no ponto médio entre as duas torres quando a temperatura é T _o = 10 ºC . Os topos das torres terão então coordenadas (-640 m, +150 m) e (+640 m, +150 m). A forma do cabo será a de uma parábola de equação y = (150 m) (x/640 m) ² e, comparando com a alínea (a) da questão “Medindo distâncias sem régua” do tema Física e outras áreas da Ciência e da Tecnologia, podemos ver que x _o = 640 m e y _o = 150 m . Logo,

e o comprimento do cabo à temperatura T _o é

Segundo a lei da dilatação térmica, a variação de comprimento é dada por , onde é o coeficiente linear de dilatação térmica do material e é a variação da temperatura; assim, a variação no comprimento do cabo quando a temperatura diminui para T ₁ = -10 ºC é

(o sinal negativo significa que o cabo fica mais curto) e a correspondente variação quando a temperatura aumenta para T ₂ = 30 ºC é

(o sinal positivo mostra-nos que o cabo fica mais comprido); logo, a variação no comprimento do cabo quando a temperatura aumenta de T ₁ para T ₂ é

(b) O fato de as torres não dobrarem nem se aproximarem tem uma consequência evidente: quando o comprimento do cabo aumenta, o seu ponto médio fica mais baixo, e quando o comprimento do cabo diminui, o seu ponto médio fica mais alto. Torna-se necessário agora obter a relação precisa entre a altura do ponto médio do cabo e o seu comprimento.

Na notação que adotamos, o valor da coordenada x = x _o das duas torres é mantido constante; as variações da temperatura T dão origem a variações no comprimento L que, por sua vez, dão origem a variações na coordenada y do ponto médio do cabo, já que supomos fixos os topos das torres. Podemos, no entanto, adotar uma estratégia diferente: em vez de seguirmos o movimento vertical do ponto médio provocado pelas mudanças de temperatura, podemos fixar a sua posição na nossa origem (posição do ponto médio correspondente à temperatura T _o ) e imaginar que são os topos das duas torres que se deslocam verticalmente à medida que a temperatura varia. Isto equivale a pensar na coordenada y _o como uma função da temperatura T . Assim, teríamos

.

Derivando cada uma dessas expressões com respeito a T , resulta e

.

Esta última igualdade permite-nos relacionar diretamente com :

,

onde a derivada f' deve ser calculada num valor correspondente ao intervalo de temperaturas considerado. Neste caso, o intervalo de temperaturas é [T ₁ ,T ₂ ] e podemos calcular f' , apropriadamente, em (valor correspondente a T = T _o, no centro do intervalo de temperaturas). Assim, temos

.

O cálculo de f' dá (verifique!)

,

pelo que se obtém ; conclui-se então que

Ou seja: quando a temperatura aumenta de -10 ºC para +30 ºC, o ponto mais baixo do cabo desce cerca de 1.2 m.

Note que a variação na altura do ponto médio do cabo é maior do que (de fato, é quase o dobro de) a variação do comprimento do cabo, o que não deixa de ser surpreendente!

Sejam c _A , c _B e c _C os calores específicos dos líquidos A, B e C, respectivamente. Quando misturamos uma massa m _A de A e uma massa m _B de B, a conservação da energia impõe que o valor absoluto do calor absorvido pela massa mais fria seja igual ao valor absoluto do calor cedido pela massa mais quente. Convencionalmente, o primeiro calor é considerado positivo, e o segundo negativo. Assim, temos

Usando esta condição entre a situação inicial dada e a situação final de equilíbrio, temos

de modo que

e, no caso especial em que as massas são iguais ( m _A = m _B = m), como aqui,

. [1]

Seguindo um raciocínio idêntico, podemos concluir que a temperatura de equilíbrio que se obtém ao misturar massas iguais de B e C é

, [2]

e a temperatura de equilíbrio que resulta misturando massas iguais de A e C é

. [3]

Devemos agora, pura e simplesmente, reescrever esta última expressão; desejamos obter uma fórmula para T _AC que não inclua nenhum dos calores específicos. O primeiro passo nesse sentido consiste em juntar c _A e c _C num único fator:

.

Agora temos de arranjar uma expressão para c _C / c _A que só dependa das temperaturas. Isso consegue-se combinando adequadamente as equações [1] e [2]. Obtenhamos c _B (no qual também não estamos interessados) a partir de [1]

,

e, da mesma forma, a partir de [2]

Igualando agora estas duas últimas expressões, resulta

e agora só temos de substituir esta última relação em [4]:

.

Esta é a fórmula que se desejava obter.

(a) Sendo o universo, neste caso, constituído pelo gás que efetua o ciclo, pelo reservatório à temperatura absoluta T2 (que designaremos reservatório 2) e pelo reservatório à temperatura absoluta T1 (que designaremos reservatório 1), temos ΔS_universo = ΔS_gás + ΔS_{reservatório 2} + ΔS_{reservatório 1}.

Como o gás percorre um ciclo e a entropia é uma função de estado, ΔS_gás = 0. Quanto aos reservatórios, podemos escrever

onde Q_1→2, Q_2→3, Q_3→4 e Q_4→1 são as quantidades de calor associadas ao gás nos processos respectivos. Assim, resulta

Como ambos os processos 1→2 e 3→4 são isocóricos, o trabalho associado a eles é nulo (W_1→2 = W_3→4 = 0), pelo que a primeira lei da termodinâmica ΔU = Q + W nos permite escrever ΔU_1→2 = Q_1→2 e ΔU_3→4 = Q_3→4; tratando-se de um gás perfeito, temos

Q_1→2 = ΔU_1→2 = nc_v (T2 - T1) = nc_vΔT;

Q_3→4 = ΔU_3→4 = nc_v (T4 - T3) = nc_v (T1 - T2) = - nc_vΔT.

Como o gás é perfeito e ambos os processos 2→3 e 4→1 são isotérmicos, a variação de energia interna associada a eles é nula (ΔU_2→3 = ΔU_4→1=0), pelo que a primeira lei da termodinâmica nos permite escrever Q_2→3 + W_2→3 = 0 e Q_4→1 + W_4→1 = 0; tratando-se de um gás perfeito, temos

Substituindo na expressão de ΔS_universo as últimas quatro relações deduzidas, obtemos

Note-se que ΔS_universo > 0, ou seja, este ciclo é irreversível. É fácil verificar que a irreversibilidade do ciclo está associada aos processos 1→2 (aquecimento irreversível) e 3→4 (arrefecimento irreversível). O ciclo de Stirling pode, em teoria, ser efetuado de forma reversível (isto é, com ΔS_universo = 0), mas isso requereria um número virtualmente infinito de reservatórios térmicos que preenchessem o intervalo de temperaturas compreendido entre T1 e T2. O gás teria de ser posto em contato com esses infinitos reservatórios, sucessivamente, de forma tal que tanto o aquecimento como o arrefecimento ocorressem reversivelmente. O universo seria constituído, nesse caso, pelo gás e pelos infinitos reservatórios.

(b) A eficiência do ciclo de Stirling pode ser calculada através da expressão geral

e como a eficiência de um ciclo de Carnot a funcionar entre os mesmos reservatórios é

, podemos escrever

onde usamos a relação c_v/R = 1/γ-1, em que γ é o coeficiente adiabático do gás, e definimos a razão de compressão r ≡ v4/v1.

Esta expressão mostra claramente que Ε < Ε_C, ou seja, a eficiência do ciclo de Stirling é inferior à eficiência do ciclo de Carnot, confirmando uma das versões da segunda lei da termodinâmica. Observa-se também que, quanto maior for a razão de compressão, mais próximas serão as eficiências dos dois ciclos.

Uma nota final: existe uma versão melhorada do ciclo de Stirling que envolve a introdução de um regenerador; em teoria, e em condições ideais, o ciclo de Stirling com regeneração consegue ter a mesma eficiência do ciclo de Carnot. (Isso é possível graças à relação Q_3→4 = -Q_1→2). O leitor interessado poderá aprofundar este assunto em qualquer bom livro de termodinâmica para engenharia.