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Perguntas e problemas relacionados ao tema
Física e outras áreas da Ciência e da Tecnologia
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Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior
mffs@ubi.pt
“Naquele domingo, o Evangelho tinha sido sobre o milagre da multiplicação dos pães. A seguir à missa, o padre João e o sacristão Pedro decidem fazer a sua caminhada diária. Durante o percurso eles cruzam-se com três pessoas. Para testar o conhecimento do padre sobre os seus paroquianos, o sacristão pergunta-lhe quais as suas idades, e o padre responde:
- A multiplicação das três idades dá 2450, e a soma dá precisamente o dobro da sua idade, Pedro.
Na caminhada do dia seguinte, o sacristão confessa ao padre que não tinha conseguido descobrir as idades, e pede-lhe mais alguma informação. O padre anui:
- Bem, posso dizer-lhe que sou mais velho do que qualquer um daqueles três fregueses.
O sacristão responde:
- Ah, agora sim, já sei as idades deles!”
Consegues descobrir quais são as idades dos três paroquianos, a idade do sacristão e a idade do padre?
Como as idades procuradas são números inteiros, começamos por fazer uma lista dos divisores de 2450: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 49, 50, 70, 98, 175, 245, 350, 490, 1225 e 2450. Podemos restringir a lista aos doze primeiros números (até ao número 98), pois os outros não correspondem a idades possíveis. A seguir, com estes números, fazemos uma lista de tríades de números cuja multiplicação seja 2450. Obtemos doze tríades. Para cada tríade, somamos os números e dividimos por dois, para obter o número S que seria a idade do sacristão Pedro.
(1,25,98); soma 1+25+98=124; S=124/2=62
(1,35,70); soma 1+35+70=106; S=106/2=53
(1,49,50); soma 1+49+50=100; S=100/2=50
(2,25,49); soma 2+25+49=76; S=76/2=38
(2,35,35); soma 2+35+35=72; S=72/2=36
(5,5,98); soma 5+5+98=108; S=108/2=54
(5,7,70); soma 5+7+70=82; S=82/2=41
(5,10,49); soma 5+10+49=64; S=64/2=32
(5,14,35); soma 5+14+35=54; S=54/2=27
(7,7,50); soma 7+7+50=64; S=64/2=32
(7,10,35); soma 7+10+35=52; S=52/2=26
(7,14,25); soma 7+14+25=46; S=46/2=23
Observamos que todos os números S são diferentes, havendo apenas um que aparece duas vezes (32). Naturalmente, o sacristão sabe a sua própria idade. Uma vez que inicialmente ele ficou com dúvidas, a sua idade deve ser precisamente 32, e a sua dúvida era entre as tríades (5,10,49) e (7,7,50). Mas essa dúvida dissipou-se quando o padre lhe disse que tinha uma idade maior do que qualquer dos três números. A única maneira de isso ocorrer é que a idade do padre seja 50. Assim, as idades dos três paroquianos são 5, 10 e 49 anos, o sacristão Pedro tem 32 anos e o padre João tem 50 anos.
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior
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(a) Uma parábola tem a equação 
, sendo 
. Mostre que o comprimento L da parábola entre os pontos (0,0) e (x o,y o) é dado por 
onde 
e
.
Use a seguinte primitiva:
.
(b) Aproveite o resultado da alínea anterior para resolver esta questão: Francisco, Carlos e Pedro decidiram fazer o percurso entre o ginásio G e o estádio E da sua cidade seguindo as três trajetórias representadas na figura.
Francisco, que é o mais lento dos três, seguiu a trajetória F (linha reta entre os dois locais); Carlos seguiu a trajetória C (linha curva com a forma de parábola); Pedro, que é o mais rápido, seguiu a trajetória P (constituída por dois segmentos de reta perpendiculares). Da figura, é claro que a distância percorrida por Francisco foi de 
km 
m, e que a distância percorrida por Pedro foi de 2 km = 2000 m . Em que intervalo de valores está a distância percorrida por Carlos?
(A) E ntre 1414 m e 1500 m;
(B) E ntre 1500 m e 1600 m;
(C) E ntre 1600 m e 1700 m;
(D) E ntre 1700 m e 1800 m;
(E) E ntre 1800 m e 1900 m;
(F) E ntre 1900 m e 2000 m.
(a) O elemento de comprimento de arco é dado por
.
Neste caso,
.
Fazendo a mudança de variável
chegamos a
,
onde definimos
, com
.
Usando a primitiva fornecida no enunciado, temos
.
Da figura anterior, baseada na definição de 
, vemos que
e 
,
de modo que
expressão que pode ser escrita como
se definirmos
.
(b) O percurso seguido por Carlos é descrito pela equação com os valores x o = y o = 1 km. Na notação da alínea anterior, temos 
, logo
.
Assim, a distância percorrida por Carlos é
m.
A resposta correta é, portanto, a da opção (A).
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior
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Um hexágono está inscrito num círculo. Os lados do hexágono têm comprimentos a e b, alternadamente. Determine o raio r do círculo, em função de a e b.
Na figura está representada em detalhe uma terça parte do hexágono descrito.
Como o triângulo [ AOB] é isósceles e
temos que
e então
O triângulo [ AOC] também é isósceles; logo
O mesmo raciocínio aplica-se ao triângulo [ BOC]:
Finalmente, a soma dos ângulos internos do triângulo [ ABC] deve ser 180º:
Notando que
resulta
Aplicamos agora a lei dos co-senos ao triângulo [ ABC]:
Assim,
e o raio do círculo é
