Seja m a massa da bola. Na situação inicial, a bola encontra-se em equilíbrio sob a ação do seu peso mg e das tensões T ₁ e T ₂ nos fios horizontal e oblíquo, respectivamente. As equações que refletem esse equilíbrio são

Na situação final, a análise das forças que atuam sobre a bola na posição B (peso mg e tensão T _B do fio) proporciona as seguintes equações:

onde (a _t ) _B e (a _c ) _B são, respectivamente, as acelerações tangencial e centrípeta da bola no ponto B. Como em B a bola atinge o repouso,

onde L representa o comprimento do fio. Combinando agora as expressões de T ₂ e T _B com a informação fornecida, obtém-se

O valor do ângulo representado é 30º.

A peça é um cilindro de raio R no qual foram feitos quatro orifícios cilíndricos de raio R/3; o eixo de cada orifício está a uma distância R/2 do eixo central. Pela propriedade aditiva do momento de inércia, o momento de inércia desta peça pode ser obtido fazendo-se a diferença entre o momento de inércia do cilindro original (sem orifícios) e os momentos de inércia dos quatro orifícios, que são iguais por simetria:

A massa da peça é M. Comecemos por calcular a massa do cilindro original (que designamos M') e a massa associada a cada um dos orifícios. Tratando-se de cilindros, a massa é directamente proporcional ao quadrado do raio; como o raio dos orifícios é 1/3 do raio do cilindro original,

Então

de modo que

e

Lembremos agora que o momento de inércia de um cilindro de massa m e raio r em relação ao seu eixo é mr ² /2. Usando esta fórmula, podemos calcular o momento de inércia do cilindro original em relação ao seu eixo (eixo central)

Consideremos agora um dos orifícios. Usando a fórmula antes referida, podemos calcular o seu momento de inércia em relação ao próprio eixo do orifício:

Aplicando a seguir o teorema de Steiner (teorema dos eixos paralelos), obtemos o seu momento de inércia em relação ao eixo central:

Finalmente, calculamos o momento de inércia da peça em relação ao eixo central:

O vetor aceleração do projétil é constante e igual à aceleração da gravidade: magnitude g, direção vertical e sentido para baixo. O seu vetor velocidade inicial ( t = 0) terá uma componente horizontal de magnitude apontando para a direita e uma componente vertical de magnitude apontando para cima. Assim,

e ,

onde o eixo x aponta horizontalmente para a direita e o eixo y aponta verticalmente para cima. No instante posterior t, o vetor velocidade do projétil será

pelo que a sua velocidade escalar será

No instante em que o projétil atinge a sua altura máxima, a componente vertical da sua velocidade é nula, o que permite calcular o tempo que o projétil demora para atingir esse ponto:

Por simetria, o tempo de descida será o mesmo, pelo que o tempo total de voo é

Como , sendo s a distância medida ao longo da trajetória (que, como se sabe, é uma parábola), a distância total L percorrida pelo projétil é dada por

.

Calculemos a integral anterior. Começamos por fazer a mudança de variável

como dt' = dt,

.

Após desenvolver e simplificar, usando o fato do integrando ser par, obtém-se

Introduzimos agora a mudança de variável ;

como ,

.

Inserindo a primitiva dada no enunciado da questão (e levando em conta que rad ), temos

onde definimos a função

.

Note-se que, para (lançamento horizontal), obtém-se L = 0, como era de se esperar, enquanto que, para rad (lançamento vertical), resulta , um resultado bem conhecido (a altura máxima atingida pelo projétil num lançamento vertical é , como se mostra facilmente através da conservação da energia mecânica).

Se quisermos determinar o ângulo para o qual a distância percorrida é máxima devemos impor a condição de derivada nula. Como

,

resulta, para o ângulo correspondente ao máximo,

.

Esta é uma equação transcendente que deve ser resolvida numericamente. A sua solução é

. (1)

O valor da distância máxima percorrida é

. (2)

Esta distância é cerca de 20 % superior à distância correspondente ao lançamento vertical. Podemos também comparar esta distância com o valor correspondente a , ângulo para o qual, como é bem conhecido, o projéctil atinge o seu máximo alcance horizontal. Assim,

,

que é apenas cerca de 15 % maior do que a distância associada ao lançamento vertical e, portanto, inferior a L _m.

O gráfico seguinte mostra a dependência da função f com o ângulo (em graus).