Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior
mffs@ubi.pt

Um hexágono está inscrito num círculo. Os lados do hexágono têm comprimentos a e b , alternadamente. Determine o raio r do círculo, em função de a e b .

Na figura está representada em detalhe uma terça parte do hexágono descrito.

Como o triângulo [ AOB ] é isósceles e

 

temos que

 

e então

 

O triângulo [ AOC ] também é isósceles; logo

O mesmo raciocínio aplica-se ao triângulo [ BOC ]:

Finalmente, a soma dos ângulos internos do triângulo [ ABC ] deve ser 180º:

Notando que

resulta

Aplicamos agora a lei dos co-senos ao triângulo [ ABC ]:

Assim,

e o raio do círculo é

Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior
mffs@ubi.pt

(a) Uma parábola tem a equação , sendo . Mostre que o comprimento L da parábola entre os pontos (0,0) e (x _o ,y _o ) é dado por onde e

.

Use a seguinte primitiva:

.

(b) Aproveite o resultado da alínea anterior para resolver esta questão: Francisco, Carlos e Pedro decidiram fazer o percurso entre o ginásio G e o estádio E da sua cidade seguindo as três trajetórias representadas na figura.

Francisco, que é o mais lento dos três, seguiu a trajetória F (linha reta entre os dois locais); Carlos seguiu a trajetória C (linha curva com a forma de parábola); Pedro, que é o mais rápido, seguiu a trajetória P (constituída por dois segmentos de reta perpendiculares). Da figura, é claro que a distância percorrida por Francisco foi de km m, e que a distância percorrida por Pedro foi de 2 km = 2000 m . Em que intervalo de valores está a distância percorrida por Carlos?

(A) E ntre 1414 m e 1500 m;

(B) E ntre 1500 m e 1600 m;

(C) E ntre 1600 m e 1700 m;

(D) E ntre 1700 m e 1800 m;

(E) E ntre 1800 m e 1900 m;

(F) E ntre 1900 m e 2000 m.