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Perguntas e problemas relacionados ao tema
Ondas mecânicas
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Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior
mffs@ubi.pt
Um mergulhador está suspenso, a 100 m de profundidade, no célebre Loch Ness , mediante uma corda fixa a um barco que se encontra à superfície. O mergulhador e o seu equipamento têm uma massa total de 120 kg, e ocupam um volume de 81,5 L. A corda tem um diâmetro de 2,20 cm e uma massa por unidade de comprimento de 10,0 g/cm. O mergulhador, acreditando ter visto qualquer coisa nas obscuras profundezas (e temendo que se trate do famoso monstro) começa a mexer a corda para trás e para a frente, enviando assim ondas transversais ao longo da corda como sinal para os seus amigos no barco (ver figura).
(a) Determine a tensão da corda no seu extremo inferior, onde está amarrada ao mergulhador. Não se esqueça de incluir no seu cálculo o empuxo que a água do lago (de densidade 1,02 g/cm 3 ) exerce sobre o mergulhador. Use o valor g = 9,80 m/s 2 para a aceleração da gravidade.
(b) Calcule a tensão da corda a uma distância x acima do mergulhador, F(x) . Leve em conta o empuxo sobre a corda.
(c) Nesta situação, a velocidade da onda transversal que se propaga pela corda é variável, já que a tensão não é constante. Integre a equação para a velocidade v das ondas transversais e obtenha o tempo que o sinal enviado pelo mergulhador demora a chegar à superfície. Ajuda: uma primitiva da função
é
(a) Sobre o mergulhador atuam três forças: o seu peso P , o empuxo E provocado pela água e a tensão F no extremo inferior da corda. A primeira aponta para baixo, as outras duas para cima. Do equilíbrio destas forças resulta P = E + F , de modo que
F = P - E = (120)(9,80) - (1,02 x 10
3
)(81,5 x 10
-3
)(9,80)
361 N
Já que
P = Mg
(onde
M = 120 kg
é a massa do mergulhador e o seu equipamento) e, de acordo com o princípio de Arquimedes,
E =
Vg
(onde
= 1,02 x 10
3
kg/m
3
é a densidade da água e V =
81,5 x 10
-3
m
3
é o volume deslocado pelo mergulhador e o seu equipamento).
(b) Consideremos a porção da corda, de comprimento x , que está imediatamente acima do mergulhador. Sobre esta porção de corda atuam quatro forças: o seu peso P' , a tensão F no extremo inferior, a tensão F(x) no extremo superior, e o empuxo E' provocado pela água. As duas primeiras apontam para baixo, as duas últimas para cima.
Do equilíbrio destas forças resulta P' + F = F(x) + E', de modo que
F(x) =
P' + F -
E' = (1,00)
(9,80)x + 361 -
(1,02 x 10
3
)
(1,10 x
10
-2
)
2
(9,80)x
361 + 6,00x
já que
P' = M'g =
gx
(onde M' é a massa da porção de corda e
= 1,00 é kg/m é a massa por unidade de comprimento da mesma) e, de novo pelo princípio de Arquimedes, E' =
V'g =
(
r
2
x)g
(onde
V'
é o volume deslocado pela porção de corda e r = 2,2 x 10
2
/ 2 =
1,1 x 10
2
m
é o raio da corda.
(c) A velocidade das ondas transversais numa corda é dada por
Neste caso, como a tensão F varia ao longo da corda, o mesmo vai acontecer com a velocidade das ondas. Assim, podemos escrever
Como v = dx / dt , temos
Se integrarmos ambos os membros desta equação (usando a primitiva fornecida), resulta
onde T é o tempo necessário para a onda viajar até à superfície e L = 100 m é o comprimento da corda. Assim,
ou seja,T = 4,00 s.
O sinal enviado pelo mergulhador demora 4,00 s para chegar à superfície.
Autor: Prof. Manuel Fernando Ferreira da Silva, Departamento de Física da Universidade da Beira Interior
mffs@ubi.pt
Quando um trem passa por uma estação, apitando, um fio de nylon colocado na estação e mantido tenso, fixo nos seus dois extremos, começa a vibrar da seguinte maneira:
São conhecidos os seguintes dados sobre o fio representado:
comprimento: 30.0 cm;
massa: 1.50 g;
tensão: 1.62 N.
Calcule a velocidade escalar com que o trem passa pela estação (em km/h), e a frequência do apito do trem. O som propaga-se no ar com uma velocidade de módulo 340 m/s.
O apito do trem provoca, por meio de um efeito de ressonância, ondas estacionárias transversais no fio; são essas ondas estacionárias as que se podem observar na figura. Comecemos então por investigar as propriedades fundamentais dessas ondas.
Conhecendo a massa
M
e o comprimento
L
do fio, podemos obter a sua densidade linear de massa
:
e, combinando esta informação com a tensão T a que o fio está submetido, calculamos a velocidade v com que se propaga através dele uma onda transversal:
Como o fio está fixo nos seus dois extremos, a sua frequência fundamental de vibração (frequência do modo fundamental das ondas estacionárias) é
e a frequência de qualquer onda estacionária será um múltiplo inteiro da fundamental:
f n = nf 1 , (n = 1, 2, 3...).
Na expressão anterior, o índice n pode ser identificado com o número de ventres que a onda estacionária apresenta. Assim, quando o trem está se aproximando, e dado que a onda apresenta treze ventres, a sua frequência é
f 13 = 13f 1 = 13 (30 Hz) = 390 Hz
e quando o trem se está se afastando, como a onda tem onze ventres, a sua frequência é
f 11 = 11f 1 = 11 (30 Hz) = 330 Hz
Essas duas frequências são as frequências “percebidas” pelo fio, que está em repouso na estação. Elas não coincidem com a frequência do apito do trem devido ao fato de este se encontrar em movimento em relação ao fio (efeito Doppler). Assim, designando por f a frequência do apito do trem, sabemos que a frequência percebida pelo fio durante a fase de aproximação é
e a frequência percebida pelo fio durante a fase de afastamento é
onde usamos o valor da velocidade do som no ar.
Essas duas expressões constituem um sistema de duas equações com duas incógnitas: a velocidade com que o trem passa pela estação e a frequência do apito do trem. Este sistema é fácil de resolver: dividindo a primeira equação pela segunda, obtém-se
de modo que
e substituindo este resultado numa das equações do sistema (na primeira, por exemplo) resulta
O trem passa pela estação com uma velocidade de 102 km/h e a frequência do seu apito é 357.5 Hz.